拉普拉斯逆變換的問題與討論 - 1

尋找它 $h(t)$ 從 $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

討論:

需要做拉普拉斯逆變換。您可以按照以下步驟取得它 $h(t)$ 從傳遞函數 $H(s)$:

步驟 1：對分母進行因式分解 $H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

步驟 2: 將分數轉換為更簡單的部分分數形式，以便輕鬆確定逆數

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

步驟 3: 確定係數

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

透過比較係數，我們得到:

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

從 $1=A+B$, 我們得到 $1=0+B\Rightarrow B=1$

從 $0=4A+2B+C$, 我們得到 $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

步驟 4: 部分分數

代換 $A=0$, $B=1$, 和 $C=-2$ 進入 $H(s)$:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

步驟 5: 拉普拉斯逆變換

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

所以:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$\mathrm{圖}\mathrm{表}:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [02420240602]