拉普拉斯逆變換的問題與討論 - 1

尋找它 \( h(t) \) 從 \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)

討論:

需要做拉普拉斯逆變換。您可以按照以下步驟取得它 \( h(t) \) 從傳遞函數 \( H(s) \):

步驟 1：對分母進行因式分解 \( H(s) \)

\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]

步驟 2: 將分數轉換為更簡單的部分分數形式，以便輕鬆確定逆數

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]

\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]

\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

步驟 3: 確定係數

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

透過比較係數，我們得到:

• \(1 = A + B\)
• \(0 = 4A + 2B + C\)
• \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)

從 \(1 = A + B\), 我們得到 \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)

從 \(0 = 4A + 2B + C\), 我們得到 \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)

步驟 4: 部分分數

代換 \(A = 0\), \(B = 1\), 和 \(C = -2\) 進入 \( H(s) \):

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

步驟 5: 拉普拉斯逆變換

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]

所以:

\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]

\( 圖表: h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \)

 [02420240602]